由DAC谐波频谱成分重构其传递函数

品慧电子讯所有DAC都会表现出一定程度的谐波失真，谐波失真是用来衡量当DAC输入端采用一个理想的均匀采样正弦波的数值序列驱动时，其输出端能在多大程度上再现这个理想的正弦波。由于DAC的瞬态和静态特性并不理想，因此输出频谱将会包含谐波成分。DAC的瞬态输出特性包括压摆率限制、非对称上升和下降时间、有限建立时间。静态特性与传递函数偏离直线的程度有关。

DAC传递函数

图1显示一个理想的DAC传递函数，它是一条斜线，y=mx+b. 数字输入位于x轴，模拟输出位于y轴。

图1. 理想的DAC传递函数

x轴上的目标范围是从左边的最小码(A)到右边的最大码(B)。y轴上的目标范围是从底部的最小输出值(C)到接近顶部的最大输出值(D)。定 义理想传递函数的斜率(m)和y轴截距(b)的方程式用边界值A、B、C、D表示。信号g(t)代表一个无失真的正弦波，由A至B范围内的数字输入组成，时间轴向下。信号 u(t)代表模拟输出，其值在C至D范围内，时间轴向右。

输出信号是通过传递函数反射的输入信号。请注意，输出信号是将g(t)上各点链接到u(t)上相应点的结果。图1显示在特定时间点 t=t_k的传递操作例子，该时间点确定输入信号上的点g(t_k)。传递函数进而将g(t_k)链接到输出信号上的相应点u(t_k)。对于理想的线性传递函数， u(t)与g(t)成比例关系。请注意，g(t_k)对应于x轴上的点x_k，它通过传递函数反射至y轴上的点y_k。借助关于耦合点集(g(t _n),u(t_n))的已有知识，可以确定传递函数上的相关点(x n,y n)。因此，通过输入信号g(t)上的点与输出信号u(t) 上的点之间的关系，完全可定义传递函数。

对于N位DAC，边界值A和B取特定值，即 A = 0 且 B = 2^N–1。 而为了方便起见，指定边界值C和D为 C = A 且 D = B。 这样意味实际DAC 输出信号的比例和偏移，因而其峰峰值范围为0至 2^N–1。 利用A、B、C、D的这些值，因为斜率 m = 1 且截距 b = 0。所以理想传递函数可简化为 y=x。

到目前为止，讨论的重点还是理想的DAC传递函数，但现在我们有了可以处理失真DAC传递函数f(x)的工具，如图2所示。需要注意的主要 特点是：传递函数不再是直线y=x，而是一个形状函数f(x)；图中随意以平滑弧形来表示。f(x)对输出函数u(t)的影响也同样重要。理想输入 g(t)通过传递函数f(x)反射，产生失真输出u(t)。与现成DAC的传递函数相比，图中所示的弧形传递函数较为夸张，仅为加强说明效果而已。 现代DAC的传递函数与理想的直线几乎没有偏差，但即使最微小的偏差也会导致输出频谱中出现谐波杂散。

图2. 失真的DAC传递函数

能否成功重构DAC传递函数，取决于是否能通过已知的g(t)和u(t)确定 各点(x_k,f(x_k))。这一过程分为两步：首先采用一个代表理想采样正弦 波的数值序列驱动DAC输入，利用频谱分析仪测量DAC输出，并记录 基波信号和尽可能多谐波成分的幅值；然后将测得的谐波幅值转换 为特定形状的传递函数。如果操作得当，将g(t)代入f(x)仿真u(t)将产 生与测量结果相同的谐波失真值。

第一步：测量DAC谐波

第一步需要一个输入序列，用来代表一个以等距时间间隔采样的 理想正弦波周期。目标是重构DAC传递函数，因此从0到2^N–1的每个 DAC码必须在输入信号中至少出现一次。输入序列需要2N以上的采 样点才能以等距间隔使用每个DAC码，实际上至少需要2^N+3个采样 才能保证每个码都出现。下式可产生2^K DAC码的理想正弦序列(K≥ N+3)。函数round{x}将x舍入为最近的整数。

where n=0,1,2,3, ... 2^K–1

此方程式假设DAC将标准二进制格式的数字输入字解码为0至2^N–1 范围内的无符号整数。对于偏移二进制或二进制补码DAC，必须调 整g_n以表示负值。

数值序列(g_n)以采样速率f s重复提供给DAC，因此DAC输出频谱含有 频率f₀=f _s/2^k的基波信号。谐波出现在2f₀、3f₀、4f₀和f₀的其它整数倍。 由于DAC输出频谱具有采样性质，因此这些谐波的幅度受sin(x)/x响 应的限制。不过，f₀与f_s相比微不足道，因此sin(x)/x响应实际上是平 坦的，可忽略不计。例如，对于一个8位DAC，K≥11且f₀≤f_s/2048，100次 谐波的sin(x)/x将不超过0.39%(0.034 dB)。

为了准确重构传递函数f(x)，需要根据谐波数(h)集尽可能记录更多谐 波的幅值。这些整数从h=1（基波频率）至h=H，其中H表示取测量幅 值的最高谐波数。例如，对于10次谐波的测量，H=10，该谐波数集为 h={1, 2, 3, .. 10}。

然后，将各测量谐波的幅值(M)与其谐波数关联。例如，M₁是1次谐波 （基波）的幅值，M₂是2次谐波的幅值，依此类推至MH。谐波幅值通常 用相对于基波幅值的分贝数(dBc)来衡量。dBc转换为线性单位的公 式如下：

其中D表示测得的谐波幅值，单位为dBc。例如，如果3次谐波的幅值 为–40 dBc，则线性幅值M₃=10^–40/20或0.01。M1始终等于1，因为根据 定义，基波的幅值为0 dBc。

第二步：重构DAC传递函数

该过程的第二步涉及到将谐波测量结果与传递函数相关。f(x)上的点 取决于g(t)和u(t)上对应点之间的关系，因此首先必须将频域中的谐 波幅值转换到时域。请注意，组成g(t)的DAC码与g(t)正弦形式的相关 时间点一一对应。因此，构成g(t)的DAC码与时域相关。此外，u(t)通 过f(x)与g(t)相关，而g(t)是一个时域函数，因此u(t)也必须表示为时域 函数。这样就能将g(t)中的各时间点tk链接到u(t)中的相关时间点，从 而由g(t)和u(t)确定f(x)。

将谐波幅值转换到时域非常困难，因为f(x)必须明确与g(t)中的各可 能DAC码（0至2N–1）相关。g(t)是一个理想正弦波，因此确保唯一性 的唯一方法是将范围限制在该正弦波单调增加的位置，如图3加粗 部分所示。如果没有这一限制条件，f(x)上的一个点可能会映射到g(t) 上的两个点，从而导致不明确。

为演示这种不定性，请想象将区间T向下移动。现在，f(x)上的点(x_k, f(x_k))可以与g(t)上的两个点相关，这是不可接受的。将范围T限制在 图中所示位置，将不存在不定性。g(t)为正弦波，因此所需范围T对应 于½周期，其初始相位偏移为3π/2弧度。

图3. f(x)与g(t)之间的关系

g(t)的范围受T限制意味着u(t)也具有类似的范围限制。因此，将所记录的谐波幅值转换到时域时，必须确保将u(t)限制在与g(t)相同的范围T，如图4所示。

图4. g(t)和u(t)的时域范围

请注意，实际的时间范围T无关紧要，因为f(x)仅在g(t)和u(t)二者的幅 值之间起转换作用。为简化分析，将基波频率(f₀)归一化为1。因此，2 次谐波的频率为2，3次谐波的频率为3，如此类推。所以，谐波频率 与谐波数(h)相等：f_h=h。这一便捷关系可简化从谐波测量结果M_h创 建u(t)的数学计算。

正弦波的一般时域表达式为:

其中β为峰值振幅，θ为初始相位偏移。

用h代替f，并用M_h代替β，可以获得各谐波u_h(t)的时域表达式。不过 应记住，g(t)偏 移3π/2弧度。此外，g(t)与u(t)之间通过f(x)关联意味着 g(t)和u(t)在相位上是对准的。用3π/2代替θ可提供所需的对准。下式 中，请注意0≤t<1且π取代了2π，目的是将基波限制在范围T所表示的 半个周期:

利用各谐波u_h(t)的时域表达式，便可以重构复合输出u(t)，表示为基 波和谐波信号的和：

如前所述，我们的目标是将g(t)与u(t)相关以重构DAC传递函数f(x)。此 外，g(t)必须恰好由2^N个样本组成，以便与f(x)上的点一一对应。因此， g(t)的样本计算公式为：

(n=0,1,2,3 .. 2^N–1)

g(t)由2^N个样本组成，因此由包括2^N个采样的u(t)采样值集重构f(x)似 乎是合理的。然而，事实却是至少需要2^N+3个采样才能为较小的M_h 值提供适当的精度。这种情况下，u(t)各采样点的计算公式应如下：

(n=0,1,2,3 .. 2^N+3–1)

请注意，这将导致u(t)所含的采样数多于g(t)，u(t)的多个样本可能与 f(x)和g(t)上的一个点对应，从而使u(t)和g(t)到f(x)的映射关系复杂化。 因此，必须对特定的样本组求平均值，以便提供到f(x)的合理映射。 下面的伪代码反映了所需的映射关系，其中假设使用一个N位DAC， g(t)有2^N个点，u(t)有2^N+3个点。阵列DacXfr含有2^N个元素，初始值均为0。执行该代码后，阵列DacXfr的元素包含归一化的DAC传递函数。

n = 0

FOR i = 0 TO 2N–1

AvgCnt = 0

WHILE i = g

AvgCnt = AvgCnt + 1

DacXfr[i] = DacXfr[i] + u

n = n + 1

IF n >= 2N+3

EXIT WHILE

END IF

END WHILE

IF AvgCnt = 0

EXIT (fail because array, g[ ], is missing a DAC code)

END IF

DacXfr[i] = (DacXfr[i]/AvgCnt)/2N

END FOR

验证

为验证本文所述的方法，使用一台频谱分析仪来测量一个14位DAC 的输出；该DAC由一个代表理想正弦波的输入序列驱动。记录了前 14次谐波的幅值（2次到15次，单位dBc），并利用这些值重构DAC传 递函数f(x)。然后，将理想正弦输入序列g(t)代入重构的DAC传递函数 f(x)进行模拟，产生一个输出序列。一个FFT将u(t)转换为频域等效值 U(ω)。从U(ω)提取谐波幅值，并将其与频谱分析仪的测量结果相比较， 如表1所示。请注意，与7次谐波相关的最大误差仅为0.065 dB。

Table 1

由于比例关系，重构传递函数的图形呈现为一条直线(y=x)。事实上， 该传递函数与y=x的偏差足以产生表1所示的谐波成分。为帮助理解， 图5仅显示了该传递函数与理想直线的偏差。垂直轴的单位为LSB。

图5. DAC传递函数的残差

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