开关变压器涡流损耗分析及铁芯气隙的选取
——陶显芳老师谈开关变压器的工作原理与设计

2-1-13．开关变压器涡流损耗分析

开关变压器的涡流损耗在开关电源的总损耗中所占的比例很大，如何降低开关变压器的涡流损耗，是开关变压器或开关电源设计的一个重要内容。

变压器生产涡流损耗的原理是比较简单的，由于变压器铁芯除了是一种很好的导磁材料以外，同时它也属于一种导电体；当交变磁力线从导电体中穿过时，导电体中就会产生感应电动势，在感应电动势的作用下，在导电体中就会产生回路电流使导体发热；这种由于交变磁力线穿过导体，并在导体中产生感应电动势和回路电流的现象，人们把它称为涡流，因为它产生的回路电流没有作为能量向外输出，而是损耗在自身的导体之中。

单激式开关变压器的涡流损耗计算与双激式开关变压器的涡流损耗计算，在方法上是有区别的。但用于计算单激式开关变压器涡流损耗的方法，只需稍微变换，就可以用于对双激式开关变压器的涡流损耗进行计算。例如，把双激式开关变压器的双极性输入电压，分别看成是两次极性不同的单极性输入电压，这样就可以实现对于双激式开关变压器涡流损耗的计算。因此，下面仅对单激式开关变压器的涡流损耗计算进行详细分析。

当有一个直流脉冲电压加到变压器初级线圈的两端时，在变压器初级线圈中就就有励磁电流通过，并在变压器铁芯中产生磁场强度H和磁感应强度B，两者由下式决定：

上式中ΔB和ΔH分别为磁感应强度增量和磁场强度增量，τ为直流脉冲宽度，B(0)和H(0)分别为t = 0时的磁感应强度B和磁场强度H。

传统的变压器铁芯为了降低涡流损耗，一般都把变压器铁芯设计成由许多薄铁片，简称为铁芯片，互相重迭在一起组成，并且铁芯片之间互相绝缘。

图2-19表示变压器铁芯或变压器铁芯中的一铁芯片。我们可以把这些铁芯片看成是由非常多的“线圈”（如图中虚线所示）紧密结合在一起组成；当交变磁力线从这些“线圈”中垂直穿过时，在这些“线圈”中就会产生感应电动势和感应电流，由于这些“线圈”存在电阻，因此这些“线圈”要损耗电磁能量。

在直流脉冲作用期间，涡流的机理与正激电压输出的机理是基本相同的。涡流产生磁场的方向与励磁电流产生磁场的方向正好相反，在铁芯片的中心处去磁力最强，在边缘去磁力为零。因此，在铁芯片中磁感应强度分布是不均匀的，即最外层磁场强度最大，中心处最小。如果涡流退磁作用很强，则磁感应强度的最大值可能远远超过其平均值，该数值由已知脉冲的幅度和宽度来决定。
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上式中 为变压器铁芯的平均导磁率， 为铁芯的电阻率，负号表示涡流产生的磁场方向与励磁电流产生的磁场方向相反。rot E和rot Hx分别表示电场和磁场的旋度，即涡旋电场和涡旋磁场的强度。Hx、Hy、Hz分别磁场强度H的三个分量；Bx、By、Bz分别磁感应强度B的三个分量；Ex、Ey、Ez分别电场强度H的三个分量。

由于单激式开关电源变压器铁芯的磁滞回线面积很小，其磁化曲线基本上可以看成一根直线，导磁率 也可以看成是一个常数；因此，这里使用平均导磁率 来取代意义广泛的导磁率。

从图2-19可以看出，磁场强度由H = Hz:和Hx = Hy = 0组成；对于电场强度，其指向平行于Y轴为E = Ey，Ex = Ez = 0。因此，上面两式又可以改写为：

（2-48）式进行微分，然后代入（2-47）式，即可求得磁场强度的一维分布方程为：

（2-49）

由于加到变压器初级线圈两端的电压是一个直流脉冲方波，在稳定状态条件下，励磁电流产生的磁场强度或磁通密度的增长应与时间成线性关系，即：

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由于在变压器铁芯片内，截面磁场强度的平均值Ha，在任一时间内都必须等于电磁感应所要求的值，即满足（2-40）式的要求，因此对应图2-19对（2-53）式求平均值得：

图2-20-a和图2-20-b分别是由（2-56）式给出的，铁芯片中磁场强度按水平方向分布的函数H(x)和按时间分布的函数H(t)曲线图。

从图2-20-a中可以看出，由于涡流产生反磁化作用的缘故，在铁芯或铁芯片中心磁场强度最低，而边缘磁场强度最高。

在图2-20-b中，随着时间线性增长部分是变压器初级线圈励磁电流产生的磁场；Hb是为了补偿涡流产生的去磁场，而由变压器初级线圈另外提供电流所产生的磁场。

从图2-20-b可以看出，涡流损耗对变压器铁芯中磁场强度（平均值）的影响，与变压器正激输出时，次级线圈中电流产生的磁场对变压器铁芯磁场的影响，基本是一样的。值得注意的是，如果用同样方法对y轴方向进行分析，也可以得到同样的结果。

从图2-20-a可以看出，当x = 时，铁芯片表面磁场强度的最大值为：

（2-57）

当铁芯或铁芯片表面磁场强度的最大值Hm高于磁场强度的平均值Ha时，其差值为：

根据（2-57）式可知，铁芯或铁芯片表面的磁场由两个部分组成：

(1)平均磁场，它随时间线性增长，由线圈中固定的电动势感应所产生；

(2)常数部分，它不随时间变化，由补偿涡流产生的去磁场所形成。
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对应铁芯片表面的两部分磁场，我们可以把它们分别看成是由Iu和Ib两部分电流产生的。根据安培环路定律：磁场强度矢量沿任意闭合路径一周的线积分，等于穿过闭合路径所包围面积的电流代数和。以及磁路的克希霍夫定律：在磁场回路中，任一绕行方向上磁动势NI（N为线圈匝数，I为电流强度）的代数和恒等于磁压降 的代数和，即：

图2-21-a就是根据（2-62）、（2-63）式画出的开关变压器受涡流影响时，输入端磁化过程的等效电路图。

图2-21-a中，Rb为涡流损耗等效电阻，N为变压器初级线圈。由此可以看处，由于受涡流损耗的影响，变压器铁芯被磁化时，相当于一个涡流损耗等效电阻Rb与变压器初级线圈N并联。

图2-21-b是更形象地把涡流损耗等效成一个变压器次级线圈N2给损耗电阻Rb2提供能量输出，流过变压器次级线圈N2的电流 ，可以通过电磁感应在变压器初级线圈N1中产生电流 。

根据（2-61）式和图2-21，可求得变压器的涡流损耗为：

（2-64）

（2-64）式中， 为变压器铁芯的体积，S为变压器铁芯的面积， L为磁回路的平均长度， 为铁芯片的厚度，N为变压器初级线圈匝数， 为铁芯片的电阻率，τ为脉冲宽度，?B为磁感应强度增量。

由此，我们可以看出：变压器铁芯的涡流损耗，与磁感强度增量和铁芯的体积成正比，与铁芯片厚度的平方成正比，与电阻率及脉冲宽度的平方成反比。
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值得注意的是，上面各式中代表面积S的属性，它既可以代表某一铁芯片的截面积，也可以代表变压器铁芯的总面积，当S变压器铁芯的总面积时，相当于上面结果是很多单个铁芯片涡流损耗的代数和。同理，以上各式中代表铁芯片厚度的 ，既可以代表某一铁芯片的厚度，也可以代表变压器铁芯的总厚度，因为铁芯片的厚度 的取值是任意的。

但是，在变压器铁芯总面积相等的情况下，由一块铁芯片或多块相同厚度的铁芯片组成的变压器铁芯，其涡流损耗是不相同的。例如，在变压器铁芯总面积相等的情况下，由一块铁芯片组成的变压器铁芯的涡流损耗，是由两块铁芯片组成的变压器铁芯涡流损耗的4倍；如果两者铁芯片的数目的比值为3倍，那么涡流损耗的比值就是9倍。由此可知，涡流损耗是按n2递减的，其中n为变压器铁芯芯片的个数。

实际用（2-64）式来计算开关变压器的涡流损耗还是有一定局限性的，因为，在对（2-64）式的推导过程中并没有考虑两块铁芯片之间涡流磁场的互相影响，从原理上来说变压器铁芯中间的铁芯片与边缘的铁芯片之间涡流磁场互相影响程度是不一样的；并且铁芯片与铁芯片之间不可能完全绝缘。

另外，目前大多数开关变压器使用的铁芯材料基本上都是铁氧体导磁材料，这些以铁氧体为材料的变压器铁芯是按陶瓷的生产工艺，先把铁磁混合材料冲压成型，然后加高温烧结而成，因此它是一个整体，或为了安装方便把它分成两个部分组合而成。

如果把以铁氧体变压器铁芯的形状看成是一个圆柱体，那么（2-45）、（2-46）的麦克斯韦一维方程式就可以看成是电磁场能量是由圆柱体中心向周围传播和散发的；这样圆柱形变压器铁芯就相当于由不同内外径，厚度变量为 的多个圆筒体组合而成。或者，把整个铁氧体变压器铁芯，看成为由单个厚度为d/2的圆柱体组成，这里d为圆柱体的直径。

图2-22就是用来求铁氧体圆柱体变压器铁芯内某截面磁场分布的原理图，图中虚线表示交变磁场在变压器铁芯内部感应产生涡流。我们用同样的方法，从（2-54）开始对表示磁场分布的（2-53）式进行积分求平均值，然后求出积分常数c2，即可以求得圆柱体铁芯内的磁场分布式：

（2-65）式中，?H为变压器铁芯片中磁场强度增量，d为圆柱体铁芯的直径， 为变压器铁芯的平均导磁率， 为铁芯片的电阻率，τ为脉冲宽度。

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上面（2-65）式是表示圆柱体铁芯截面沿ｘ轴方向的磁场分布图。其实磁场分布在整个铁芯截面的xy平面内都是以中心对称的。这样圆柱形变压器铁芯中的磁场强度在xy平面的分布函数H(x,y)曲面，就相当于把图2-20-a的函数曲线，以中心为圆心旋转一周而得到的新图形。

图2-23-a和图2-23-b是圆柱形变压器铁芯中磁场强度按水平方向分布的函数H(x,y)曲面图和按时间分布的函数H(t)曲线图。

根据上面分析，以同样方法我们可以求出圆柱体变压器铁芯的涡流损耗为：

（2-66）式中， 为变压器铁芯的体积，S为变压器铁芯的面积，L 为磁回路的平均长度，d为圆柱体铁芯的直径， 为铁芯片的电阻率，τ为脉冲宽度，?B为磁感应强度增量。

由此我们对园柱体变压器铁芯同样可以得出结论：圆柱体变压器铁芯的涡流损耗，与磁感强度增量和铁芯的体积成正比，与铁芯直径的平方成正比，与电阻率及脉冲宽度的平方成反比。或者，圆柱体变压器铁芯的涡流损耗，与磁感强度增量以及铁芯直径的四次方成正比，与电阻率及脉冲宽度的平方成反比。

（2-66）式与（2-64）式在原理上没有本质上的区别，因此，图2-21的等效电路对于（2-66）式同样有效。

上面对涡流工作原理的分析，虽然看起来并不是很复杂，但要精确计算涡流损耗的能量是非常困难的。因为很难精确测量出变压器铁芯的损耗电阻，特别是，目前大多数开关变压器使用的铁芯材料，基本上都是铁氧体导磁材料；这些铁氧体变压器铁芯是由多种铁磁金属材料与非金属材料混合在一起，然后按陶瓷的生产工艺，把铁磁混合材料冲压成型，最后加高温烧结而成的。

由于铁氧体属于金属氧化物，大部分金属氧化物都具有半导体材料的共同性质，就是电阻率会随温度变化，并且变化率很大。热敏电阻就是根据这些性质制造出来的，温度每升高一倍，电阻率就会下降（或上升）好几倍，甚至几百倍。大多数热敏电阻的材料也属于金属氧化物，因此，铁氧体也具有热敏电阻的性质。

铁氧体变压器铁芯在常温下，虽然电阻率很大，但当温度升高时，电阻率会急速下降；相当于图2-21-a中的Rb涡流等效电阻变小，流过Rb的电流增加；当温度升高到某个极限值时，变压器初级线圈的有效电感量几乎下降到0，相当于导磁率也下降到0，或相当于变压器次级线圈被短路，此时的温度称为居里温度，用Tc表示。因此，铁氧体的电阻率和导磁率都是不稳定的，铁氧体开关变压器的工作温度不能很高，一般不要超过120度。

图2-24是日本TDK公司高导磁率材料H5C4系列铁芯初始导磁率 随温度变化的曲线图。

顺便说明，图2-24中的初始导磁率 一般是用磁环作为样品测试得到的，测试信号的频率一般比较低，仅为10kHz，并且测试时一般都选用最大导磁率作为结果；因此，实际应用中的开关变压器铁芯的导磁率并没有这么高。
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当在变压器铁芯中留有气隙时，由于空气的导磁率只有铁芯导磁率的几千分之一，磁动势几乎都降在气隙上面；因此，留有气隙的变压器铁芯，其平均导磁率将会大大下降；不但剩余磁感应强度也会降低，而且最大磁感应强度Bm可以达到饱和磁感应强度Bs；从而使磁通增量增大，变压器铁芯不再容易出现磁饱和。如图2-25所示是留有气隙的变压器铁芯的工作原理图与磁化曲线图 。

在图2-25-a中，假设L1为气隙长度，变压器铁芯磁路的总长度为Lc，则磁路的磁通势为：

我们再来看图2-25-b。在图2-25-b中，虚线表示变压器铁芯没有气隙时的磁滞回线，实线表示变压器铁芯留有气隙时的磁滞回线，其中磁化曲线o-a为留有气隙铁芯的基本磁化曲线。这里的基本磁化曲线与初始磁化曲线并不完全相同，这里的基本磁化曲线相当于磁化曲线的几何平均值，以便用于分析磁场强度增量与磁感应密度增量，?B 的关系。

显然，对应每一个气隙长度的取值就有一组相应的磁滞回线；但不管气隙长度取得多大，铁芯的最大磁感应强度Bm只能达到铁芯磁饱和时对应的Bs值，它不会随着气隙长度 L1的增长而继续增长；而铁芯的剩余磁感应强度Br也不会因气隙长度 L1增长而大幅度下降。因此，L1应该有一个最佳值，它应该既要兼顾磁感应强度增量 ，?B的最大，也要兼顾平均导磁率 达到最大的条件。
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如果我们把最大正切值 对应的磁感应强度增量?B 和磁场强度增量H，定义为铁芯的最佳工作点，那么通过切线o-b就可以求出对应的 最佳值。可以证明通过原点的切线o-b是正切值最大的切线，因为实际中的基本磁化曲线是不存在的，基本磁化曲线相当于磁化曲线的几何平均值，是一条按电容充电规律变化的指数曲线（请参考《2-1-11．开关变压器铁芯磁滞回线测量》章节的内容）；另外，所定义的最佳工作点就是气隙长度L1最小值对应的工作点。

从图2-25-b以及（2-67）式可以看出，当 >>1时，有气隙铁芯的平均导磁率 基本与气隙L1的长度成反比；因此 的值正好就是对应图2-25-b中，切线o-b与B轴夹角 的正切值 相乘正好把两条正交直线H和B的单位进行归一化，要么它们之间的夹角就没有意义。

由图2-25-b可以看出，当 ≈1/2时，L1为最佳值，实际上也是L1的最小值；因为，平均导磁率 会随着L1增大而减小。因此，L1的最佳值（或最小值）由下式求得：

（2-68）

把（2-68）式的结果代入（2-67）式，可以求得，当 为最佳值时，有气隙铁芯的平均导磁率 正好等于没有气隙铁芯导磁率 的三分之一。

这里特别指出：（2-68）式给出的结果，是在初步满足磁感应强度增量要求的条件下，求有气隙铁芯的平均导磁率 最大值的条件；当然是气隙长度越小，平均导磁率 就越大。但在实际工作中， 的值要小于此值，因为，对气隙长度要预留一定的余量，变压器铁芯的工作点不可能让永远工作在最佳值的边沿；因此，实际工作中的变压器铁芯，其最大磁感应强度增量和最大磁场强度增量都会超出（2-68）式给出条件的范围；所以，由（2-68）式求出的气隙长度 也是最低极限值。

防止开关变压器铁芯出现磁饱和最简单的另一种方法是采用反磁场，在变压器铁芯中安装永久磁铁，或在变压器的初、次级线圈上另外增加一反向直流，并且此直流一般需要用扼流圈电感隔离，或用恒流源供电。由于在变压器的初、次级线圈上另外增加一反向直流会降低开关电源的工作效率，以及增加成本，目前大多数的开关电源都没有采用这种方法；只有一些要求磁化动态范围比较大，且输出功率也特别大，并且不需考虑成本的场合才会使用。

顺便指出，用于正激式开关变压器铁芯的气隙长度与反激式开关变压器铁芯的气隙长度是不一样的；正激式开关变压器铁芯的气隙长度完全为了满足最大磁感应强度增量 的要求，而反激式开关变压器铁芯的气隙长度，除了要满足最大磁感应强度增量 的要求外，还要满足最小电感量的要求。一般反激式开关变压器铁芯的气隙长度要比正激式开关变压器铁芯的气隙长度大。

未完待续：下文将接着为大家介绍：单激式开关变压器铁芯磁滞损耗、涡流损耗的测量，请耐心等待......

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