DSP 技巧：频率解调算法
【导读】微分器是抽头数为奇数的抽头延迟线 FIR 微分滤波器。当微分器是一个系数为 1,0,–1 的 FIR 滤波器时，参考文献 [54] 了可接受的结果。
一种常用的测量复杂正弦信号瞬时频率的技术是计算信号瞬时 θ(n) 相位的导数，如下面的图 13–60所示。
图 13–60使用反正切函数的频率解调器。
这是传统的离散信号调频解调方法，效果很好。解调器的瞬时输出频率为下面的 Eq13-111：
其中fs是以赫兹为单位的采样率。
计算瞬时相位 θ(n) 需要反正切运算，如果没有大量的计算资源，很难准确实现。这是用于计算等式Δθ(n)的方案。(13–111) 没有中间 θ(n) 相位计算（及其讨厌的反正切函数）。我们推导出 ?θ(n) 计算算法如下，初使用基于以下定义的连续时间变量：
i(t) = 同相信号，
q(t) = 正交相位信号，
θ(t) = tan–1[q(t)/i(t)] = 瞬时相位，
Δθ(t) = 时间导数的 θ (t)。(13-112)
首先，我们让r(t)=q(t)/i(t) 成为我们试图计算其反正切导数的信号。微积分恒等式tan–1[r(t)]的时间导数是
堵塞方程(13–114) 的结果进入 Eq.(13–113)，我们有
替换等式中的r(t )。(13–115) 和q(t)/i(t) 产量
我们到了那里。接下来我们将方程式中个比率的分子和分母相乘。(13–116) 乘以i2(t)，并将t替换为我们的离散时间变量索引n以得出我们的终结果
图 13–61。无反正切频率解调器：（a）标准过程；(b) 简化程序。
图 13–61(a) 显示了该算法的实现，其中i(n) 和q(n) 的导数分别为i’(n) 和q’(n )。Δφ(n) 输出序列用于等式。(13–111) 计算瞬时频率。
微分器是抽头数为奇数的抽头延迟线 FIR微分滤波器。当微分器是一个系数为 1,0,–1 的 FIR 滤波器时，参考文献 [54] 了可接受的结果。
图 13–61 中的延迟元件用于将i(n) 和q(n) 与微分器的输出进行时间对齐，以便在使用K抽头微分器时延迟为 (K–1)/2 个样本.实际上，可以通过关闭微分滤波器的中心抽头来获得延迟。
如果i(n)+jq(n) 信号是纯粹的 FM 和硬限制使得i2(n)+q2(n) = 常数，则方程式中的分母计算。(13–117) 不需要执行。在这种情况下，使用 1,0,–1 系数微分器，FM 解调器被简化为图 13–61(b) 中所示的解调器，其中缩放操作是乘以常数的倒数。
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